SSA - Singular spectrum analysis

Xử Lý Chuỗi Thời Gian

Phân Tích Phổ Kỳ Dị (SSA)
& Thuật Toán Điền Dữ Liệu Thiếu

Thuật toán lặp SSA (Iterative SSA) để khôi phục dữ liệu thời tiết, khí hậu và thủy văn.

01 Bản Chất và Lý Thuyết Cốt Lõi của SSA

Phân tích phổ kỳ dị (Singular Spectrum Analysis - SSA) là một phương pháp xử lý tín hiệu phi tham số (non-parametric) không đòi hỏi giả định trước về mô hình toán học của dữ liệu (như tính dừng hay phân phối chuẩn). SSA kết hợp các khái niệm từ Đại số tuyến tính (Phân tách giá trị kỳ dị - SVD) và Hệ thống động lực (Không gian trạng thái).

🎵 Hình ảnh ẩn dụ sinh động: Bộ lọc bản nhạc đa âm

Hãy tưởng tượng bạn nghe một âm thanh hỗn hợp gồm tiếng hát chính (xu hướng dài hạn), tiếng đàn violin lặp lại theo nhịp (chu kỳ mùa), và tiếng xì xào rè của loa (nhiễu ngẫu nhiên). SSA giống như một "bộ lọc âm thông minh" tự động tách từng bè âm ra riêng biệt mà không cần biết trước nhạc phổ gốc.

💡 So sánh SSA với Biến đổi Fourier (FFT) và Wavelet

Phương pháp	Hàm cơ sở (Base functions)	Ưu điểm	Nhược điểm
Fourier (FFT)	Sóng Sin/Cos cố định	Cực nhanh, thích hợp tín hiệu chu kỳ cố định	Thất bại khi dữ liệu biến đổi phi tuyến, không dừng
Wavelet	Hàm sóng nhỏ (Mother wavelets)	Phân tích đồng thời thời gian - tần số	Phụ thuộc lớn vào việc chọn hàm sóng mẹ phù hợp
SSA	Tự học trực tiếp từ chính dữ liệu (EOF)	Thích ứng với mọi dạng chu kỳ, phi tuyến, xử lý tốt dữ liệu thiếu	Tốn tài nguyên tính toán hơn FFT khi chuỗi rất dài

Mô phỏng Trực quan: Tách Chuỗi Dữ Liệu bằng SSA

SSA phân tách chuỗi thời gian gốc thành các thành phần tín hiệu độc lập:

Bạn có thể nhấp vào các hộp chú thích (Legend) phía trên để bật/tắt từng thành phần chuỗi.

02 Chi Tiết Toán Học 3 Bước Của Thuật Toán SSA

Sơ đồ Quy trình 3 Bước SSA

1

Nhúng (Embedding)

Trượt cửa sổ $M$ qua chuỗi thời gian để tạo Ma trận Quỹ đạo $\mathbf{X}$ (Cấu trúc Hankel).

2

Phân Tách SVD

Phân tích ma trận hiệp phương sai để tìm các vectơ riêng EOF và giá trị kỳ dị $\lambda_i$.

3

Tái Dựng Signal

Chọn $K$ khuôn mẫu chính, tính trung bình đường chéo để gom thành chuỗi 1D.

BƯỚC 1

Nhúng (Embedding) & Ma Trận Quỹ Đạo

Cho chuỗi thời gian $Y = (y_1, y_2, \dots, y_N)$ gồm $N$ thời điểm. Ta chọn một độ dài cửa sổ trượt $M$ ($1 < M < N$). Ma trận Quỹ đạo $\mathbf{X}$ kích thước $M \times (N - M + 1)$ được xây dựng bằng cách trượt cửa sổ $M$ điểm qua thời gian:

$$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} y_1 & y_2 & y_3 & \dots & y_{N-M+1} \\ y_2 & y_3 & y_4 & \dots & y_{N-M+2} \\ y_3 & y_4 & y_5 & \dots & y_{N-M+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_M & y_{M+1} & y_{M+2} & \dots & y_N \end{bmatrix}$$

📌 Cách chọn độ dài cửa sổ M:

• $M$ phải đủ lớn để bao quát được chu kỳ dài nhất trong dữ liệu (Ví dụ: dữ liệu theo tháng có chu kỳ năm 12 tháng $\rightarrow$ chọn $M = 24$ hoặc $M = 36$).

• Cơ chế vệt chéo khi thiếu dữ liệu: Do cấu trúc Hankel của ma trận $\mathbf{X}$ (các đường chéo phụ có giá trị bằng nhau), một giá trị bị thiếu ở thời điểm $t$ sẽ lan ra tạo thành một vệt chéo nghiêng trong ma trận $\mathbf{X}$.

BƯỚC 2

Phân Tách Giá Trị Kỳ Dị (SVD)

Tính ma trận hiệp phương sai $\mathbf{S} = \mathbf{X}\mathbf{X}^T$. Thực hiện phân tách giá trị kỳ dị để thu được các giá trị riêng $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_M \ge 0$ và các vectơ riêng tương ứng $U_1, U_2, \dots, U_M$ (gọi là các EOF - Empirical Orthogonal Functions).

$$\text{Tỷ lệ phương sai giải thích bởi thành phần } i: \quad \text{Variance}_i = \frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^M \lambda_j} \times 100\%$$

Ví dụ về ý nghĩa tỷ lệ phương sai trong thực tế:

• EOF1 ($\lambda_1 \rightarrow 52\%$): Giải thích biến động lớn nhất, thể hiện xu hướng dài hạn (Trend).
• EOF2 ($22\%$), EOF3 ($7\%$), EOF4 ($4\%$): Biểu diễn các dao động chu kỳ từ thấp đến cao. Tổng 4 thành phần đầu giải thích tới **85%** thông tin của chuỗi.

BƯỚC 3

Tái Dựng (Gom Nhóm & Trung Bình Đường Chéo)

Chọn $K$ khuôn mẫu quan trọng nhất ($K < M$) để tái dựng ma trận $\mathbf{X}_R = \sum_{i=1}^K \sqrt{\lambda_i} U_i V_i^T$. Sau đó thực hiện Trung bình đường chéo (Diagonal Averaging) để chuyển đổi ma trận $\mathbf{X}_R$ trở lại thành chuỗi thời gian 1D duy nhất. Các thành phần từ $K+1$ đến $M$ không được chọn sẽ coi là nhiễu ngẫu nhiên và bị loại bỏ.

03 Thuật Toán SSA Lặp (Iterative SSA) Khôi Phục Dữ Liệu Thiếu

Khi chuỗi dữ liệu có khoảng trống bị thiếu (Missing values), ta sử dụng thuật toán Iterative SSA (Kondrashov & Ghil, 2006). Thuật toán này lợi dụng tính quy luật chu kỳ đã học được từ các phần dữ liệu có sẵn để "học" và "điền" dần vào các vị trí bị khuyết.

// GIẢI THUẬT SSA LẶP (Kondrashov & Ghil)

Bước 1: Khởi tạo: Đặt tất cả giá trị tại vị trí khuyết bằng 0.

Bước 2: Lặp qua từng cấp số lượng khuôn mẫu $K = 1, 2, \dots, K_{max}$:

a. Thực hiện SSA tái dựng chuỗi bằng $K$ thành phần đầu.

b. Cập nhật: Giữ nguyên dữ liệu thật, CHỈ thay thế các vị trí thiếu bằng giá trị vừa tái dựng.

c. Kiểm tra hội tụ: Nếu sự thay đổi giữa 2 vòng lặp < $0.003 \sigma$ hoặc số vòng lặp > 25:

→ Dừng vòng lặp của $K$ hiện tại, tăng $K = K + 1$ và bắt đầu lặp mới bằng kết quả của $K$ trước.

🔍 Tại sao lại khởi tạo bằng 0 và tăng dần K?

Việc đặt bằng 0 ban đầu là trung tính đối với dữ liệu chuẩn hóa (chuẩn hóa có trung bình bằng 0). Khi lặp với $K=1$, thuật toán khôi phục xu hướng mượt nhất (Trend). Khi $K$ tăng dần ($K=2, 3, \dots, 8$), các sóng chu kỳ chi tiết hơn tiếp tục được bồi đắp vào vị trí thiếu, giúp điểm lấp dần tiến tới giá trị thực tế một cách tự nhiên.

⚠️ Giới Hạn Quan Trọng Cần Biết:

SSA lặp chỉ khôi phục dựa trên những khuôn mẫu lặp lại trong quá khứ. Nếu trong khoảng thời gian bị thiếu dữ liệu xuất hiện một sự kiện bất thường (ví dụ: bão lũ kỷ lục chưa từng có), thuật toán SSA sẽ không thể dự đoán hay tái tạo lại điểm cực đoan đó.

04 Đánh Giá So Sánh Thực Nghiệm (Chỉ Số RMSE)

Đánh giá độ chính xác khi điền dữ liệu bằng chỉ số Root Mean Square Error (RMSE). RMSE càng nhỏ, phương pháp khôi phục càng chính xác.

So sánh RMSE Trên 3 Tháng Bị Khuyết (08/2011 - 10/2011)

Phương pháp	RMSE (mm)	Nhận xét chi tiết
1. Khí hậu tháng (Climatology)	173.7	Lấy trung bình các tháng tương ứng trong lịch sử. Sai số rất lớn do bỏ qua xu hướng biến đổi dài hạn.
2. Nội suy dị thường (Anomaly Interpolation)	40.5	Nối tuyến tính/đường cong giữa các điểm lân cận. Khá tốt với khoảng thiếu ngắn nhưng kém khi bị thiếu dải dài.
3. SSA Lặp (với K = 8)	25.5	Chính xác nhất! Giảm sai số tới 37% so với Nội suy dị thường và giảm 85% so với Khí hậu tháng.

🧠 Kiểm Tra Nhanh Mức Độ Hiểu Bài

Câu 1: Điều gì xảy ra nếu ta chọn kích thước cửa sổ $M$ quá nhỏ (ví dụ $M=3$) trong bài toán dữ liệu khí hậu theo tháng?

Xem giải thích

Nếu $M$ quá nhỏ, SSA sẽ không thể bao quát được chu kỳ năm (12 tháng). Thuật toán sẽ không trích xuất được tín hiệu chu kỳ mùa hay các biến động dài hạn, dẫn đến việc khôi phục dữ liệu bị lệch và sai số cao.

Câu 2: Tại sao SSA lặp lại cần tăng dần số lượng thành phần $K$ từ 1 đến 8 thay vì chọn ngay $K=8$ từ đầu?

Xem giải thích

Việc tăng dần $K$ giúp thuật toán ổn định cấu trúc xu hướng chung (Trend) trước khi thêm các chi tiết tần số cao. Nếu chọn ngay $K=8$ khi các vị trí thiếu đang bằng 0, nhiễu khởi tạo sẽ làm sai lệch các vectơ riêng (EOF), làm thuật toán hội tụ sai.